UINというのが何なのかわからず
ググってみたのですが、どうやらICQナンバーの事のようですね。
これはICQにユーザ登録をした際に振り分けられる
ユーザ番号なので、1ユーザに1番号しかないと思います。

　>数年前から同じUINなだけで、新たには発行されていないということでしょうか？
仰る通り、自分のICQナンバーを使っているだけだと思います。

ご自分のICQナンバーがわからないのであれば、
問い合わせをするしか無いと思います
https://www.icq.com/password/en

（上記アドレスはパスワード照会のページですが、
メアドでもいけそうな感じなので試してみるのも良いかもです）

どうしてもわからないようでしたら、
BBSのコメントで連絡を取り合っていらっしゃる方も多く見受けられますので、
ICQを使わないという選択もアリではないでしょうか？